\subsection{拉格朗日方程}
\begin{remark}
    在本部分，我们做一个约定，令同时出现的下标$i,j,k$等表示对所有自由度遍历相乘求和，等式两边出现的
    相同下标表示遍历相等。
\end{remark}
\begin{definition}[][广义坐标]
    \textbf{Generalized coordinates}\quad 由$N$个质点组成的系统有$3N$个自由度.
    对于 \(s\) 个自由度的系统，可以完全刻画真位置的任意。$s$个变量
    \(_{q_1, q_2, \cdots, q_s}\) 称为该系统的广义坐标, 其导数 \(\dotq\) 则称为广义速度。


\end{definition}

\begin{definition}[][拉格朗日函数]
    \textbf{Lagrangian function}\quad
    给定所有广义坐标和广义速度，可以唯一确定系统的状态。因此，用一个函数
    \begin{equation}
        L(q_1,q_2,cdots,q_s,\dotq_1,\dotq_2,\cdots,\dotq_s)
    \end{equation}
    或记作$L(q,\dotq)$来表示这个函数。这个函数，即拉格朗日函数。
\end{definition}

\begin{theorem}[][最小作用量原理]
    \textbf{principle of least action}\quad
    假设在时刻 \( t = t_1 \) 和 \( t = t_2 \) 系统的位置由两组坐标
    \( q^{(1)} \) 和 \( q^{(2)} \) 确定。
    那么, 系统在这两个位置之间的运动使得积分（称为作用量）
    \begin{equation*}
        S = \int_{t_1}^{t_2} L(q, \dot{q}, t) \dt
    \end{equation*}
    取最小值.即
    \begin{equation}
        \delta S=0.
    \end{equation}
\end{theorem}

\begin{Proof}
    \begin{equation*}
        \delta S = \delta\int_{t_1}^{t_2}L(q,\dotq,t)\dt = 0,
    \end{equation*}
    \begin{equation*}
        \int_{t_1}^{t_2}\left( \pLpqdq + \pLpdqddq \right)\dt = 0
    \end{equation*}
    而
    \begin{equation*}
        \delta \dotq = \frac{\mathrm{d}}{\dt}\delta q
    \end{equation*}
    对第二项分部积分
    \begin{equation*}
        \delta S = \pLpdq \delta q |_{t_1}^{t_2} + \int_{t_1}^{t_2}\left(\pLpq-\frac{\mathrm{d}}{\dt}\pLpdq\right)\delta q\dt = 0.
    \end{equation*}
    $\delta q(t_1)=\delta q(t_2)=0$，因此,第二部分积分内的部分恒为0，证毕。
\end{Proof}
因此，有
\begin{equation}
    \Leq
\end{equation}
分量形式为
\begin{equation}
    \Leqi
\end{equation}

\begin{corollary}
    \begin{itemize}
        \item 几个孤立系统的拉格朗日函数基于可加性 $L = L_A+L_B$。
        \item 两个拉格朗日函数可以相差一个任意的时间坐标的函数的对时间全导数而保持等价。
    \end{itemize}
\end{corollary}

\begin{definition}[][惯性参考系]
    \textbf{inertial reference frame}\quad 惯性参考系是对空间都均匀的各向同性的，
    对时间是均匀的参考系。
\end{definition}

\begin{theorem}[][惯性定律]
    \textbf{law of inertia}\quad 在惯性参考系中质点任何自由运动的速度的大小和方向都不改变
\end{theorem}
\begin{Proof}
    \textbf{时间和空间的均匀性意味着$L$的表达式不显含$vecr$和$t$}。$L$为速度$vecv$的函数

    \textbf{空间的各向同性意味着与$vecv$的方向无关}。$L$为速度大小的函数，即
    \begin{equation*}
        L=L(v^2)
    \end{equation*}
    而不显含$vecr$,偏导为0，拉格朗日方程可以写作
    \begin{equation*}
        \ddt{} \pLp{\vecv} = 0
    \end{equation*}
    故
    \begin{equation*}
        \vecv = C
    \end{equation*}
\end{Proof}
\begin{note}
    \textbf{均匀的}是什么意思呢？
    时间均匀性（或时间平移对称性）是指物理定律在时间上的不变性，
    即系统的行为不依赖于具体的时间选择。

    如果系统是时间均匀的，即物理规律不随时间变化，那么拉格朗日函数的形式应该不显含时间 \( t \)。

    原因如下：

    时间均匀性意味着如果我们将系统的时间坐标平移一个常数 \( \Delta t \)，系统的物理行为不会改变。
    这种对称性要求拉格朗日函数在时间上的形式应保持不变。
    通过拉格朗日方程推导出的运动方程，如果拉格朗日函数显含时间 \( t \)，
    则可能导致系统的运动方程中包含时间的显式依赖，
    从而使得系统的行为随时间变化，违背了时间均匀性的原则。

\end{note}

\begin{theorem}[][伽利略相对性原理]
    \textbf{Galileo's principle of relativity}\quad
    实验证明, 不仅自由运动规律相对这两个参考系完全相同,
    所有力学关系式相对这两个参考系都是等价的.
    因此存在不只是一个, 而是无穷多个惯性参考系, 它们相互作匀速直线运动.
    在这些参考系中时间和空间的性质都是相同的, 力学规律也是相同的.
    这个结论称为伽利略相对性原理, 这是力学中最重耀的原理之一.
\end{theorem}

\subsection{自由质点的拉格朗日函数}

两个惯性系，相对以无穷小速度$\vecep$运动。由伽利略相对性原理，二者的拉格朗日函数
等价，故而相差一个全微分。
\begin{equation*}
    L^\prime = L(v^{\prime 2}=L(v^2+2\vecv\cdot\vecep+\varepsilon^2))
\end{equation*}

泰勒展开，并忽略二阶以上小量
\begin{equation*}
    L(v^{\prime 2})=L(v^2)+2\pLp{v^2}\vecv\cdot\vecep
\end{equation*}
第二项为时间的全微分，则其第二项为
\begin{equation*}
    \pLp{v^2}\ddt{\vecr}\cdot\vecep
\end{equation*}
偏导不显含$v$，则
\begin{equation*}
    L=\frac12 mv^2
\end{equation*}
无相互作用的自由质点，拉格朗日函数具有可加性
\begin{equation*}
    L=\frac12 m_iv_i^2
\end{equation*}
注意到
\begin{equation*}
    v^2=\left(\ddt{l}\right)^2
\end{equation*}
故
\begin{equation}
    L = L=\frac12 m\left(\ddt{l}\right)^2
\end{equation}
如在笛卡尔坐标系里$\mathrm{d}l^2=\dx^2+\dy^2+\dz^2$，则
\begin{equation*}
    L = \frac12 m(\dotx^2+\doty^2+\dotz^2)
\end{equation*}

\subsection{质点系的拉格朗日函数}

对于有相互作用的质点系， 令函数$U$（称作势能）表示相互作用，则
\begin{equation}
    L = \frac12 mv^2_i-U(\vecr_i)
\end{equation}
\begin{equation}
    T = \frac12 mv^2_i
\end{equation}
为动能。
\begin{note}
    封闭体系内部相互作用只跟距离有关，故$U$为矢径的函数，且不显含$t$。若显含$t$，
    则时间的均匀性被破坏。
\end{note}

由此，可写出拉格朗日方程的具体形式
\begin{equation}
    \ddt{}\pLp{\vecv_\alpha} = \pLp{\vecr_\alpha}
\end{equation}
\begin{equation}
    \ddt{(m\vecv)_\alpha}=-\pUp{\vecr_\alpha}
\end{equation}
若采用广义坐标
\begin{equation}
    L = \frac12 a_{ik}(q)\dotq_i\dotq_k - U(q)
\end{equation}

对于非封闭体系， 假想其与一个更大的体系共同组成一个封闭体系
\begin{equation*}
    L = T_A(q_A,\dotq_A)+T_B(q_B,\dotq_B)-U(q_A,q_B)
\end{equation*}

将$q_B$表示为时间的函数， 第二项为时间的全微分，可以略去
\begin{equation}
    L = \frac12 mv^2-U(\vecr,t)
\end{equation}

\begin{note}
    $a_{ik}$是什么？

    在笛卡尔坐标里，有
    \begin{equation*}
        x_a = f_a(q)
    \end{equation*}
    \begin{equation*}
        \dotx_a = \pfp{f_a}{q_k}\dotq_k
    \end{equation*}
    \begin{equation*}
        T = \frac12 m_a \dotx_a^2
    \end{equation*}
    \begin{equation*}
        a_{ik} = m_a\pfp{f_{a,\alpha}}{q_i}\pfp{f_{a,\alpha}}{q_k}
    \end{equation*}

    \textbf{记住我们的求和约定}。
\end{note}

\begin{example}
    设有一平面摆, 其悬挂点如\figref{fig:EquationsOfMotion20240814095938}:
    \begin{enumerate}[label=\alph*.]
        \item 沿着竖直圆以定常圆频率 \(\gamma\) 运动.
        \item 按规定将 \(a \cos \gamma t\) 在摆的运动平面内水平振动.
        \item 按规定将 \(a \cos \gamma t\) 竖直振动
    \end{enumerate}
    求拉格朗日函数.
\end{example}
\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \includegraphics[width=0.4\textwidth]{figure/EquationsOfMotion20240814095938.jpg}
    \caption{运动方程\label{fig:EquationsOfMotion20240814095938}}
\end{figure}
\begin{solution}
    \begin{equation*}
        x=a\cos\gamma t + l\sin\varphi,\quad y = -a\sin\gamma t + l\cos\varphi.
    \end{equation*}
    选取$\varphi$为广义坐标。单质点，考虑动能
    \begin{equation*}
        T = \frac12 m(\dotx^2+\doty^2) = \frac12 ma^2\gamma^2 +\frac12 ml^2\varphi^2
        +mal\gamma\dotphi\sin(\varphi-\gamma t).
    \end{equation*}
    第一项为常数，略去.
    \begin{equation*}
        \dotphi\sin(\varphi-\gamma t) = -\ddt{}\cos(\varphi-\gamma t) + \gamma\sin(\varphi-\gamma t)
    \end{equation*}
    此处第一项为对时间的全导数可以略去。同时可以用第二项表示。
    势能
    \begin{equation*}
        U = -mgy = mg(a\sin\gamma t - l\cos\varphi)
    \end{equation*}
    第一项为对时间的全导数可以略去。
    则a.
    \begin{equation*}
        L = T-U=\frac12 ml^2\varphi^2+mal\gamma^2\sin(\varphi-\gamma t)+mgl\cos\varphi.
    \end{equation*}

    b.质点 \( m \) 的坐标为：
    \begin{equation*}
        x  = a \cos \gamma t + l \sin \varphi,\quad
        y  = l \cos \varphi.
    \end{equation*}

    略去全导数项后的拉格朗日函数为
    \begin{equation*}
        L = \frac{m l^2}{2} \varphi^2 + m l a \varphi^2 \cos \gamma t \sin \varphi + mgl \cos \varphi.
    \end{equation*}

    c. 类似地, 可得：
    \begin{equation*}
        L = \frac{m l^2}{2} \varphi^2 + m l a \varphi^2 \cos \gamma t \cos \varphi + mgl \cos \varphi.
    \end{equation*}
\end{solution}

